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Anwendungen zur Tensorrechnung

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Flächenmomente 0. Und 1. Grades

Die Flächenmomente 0. und 1. Grades treten schon bei der Berechnung der Flächenschwerpunkt auf.

Die F.M. 1. Grades ist die statische moment dieser Fläche. Die Einheit der Moment 0. Grades ist Längeneinheit^2 und der Moment 1. Grades ist LE^3. Die statische Moment einer Fläche wird berechnet durch:

Flächenmomente 2. Grades , also das Moment der Moment der Fläche.

Die Moment 2. Grades einer Fläche ist die sogenannte Flächenträgheitsmomente. Es ist ein rein geometrisches Eigenschaft der Fläche und ist unabhängig von der Material, mit dem der Fläche ausgebaut ist. Die Einheit der Moment 2. Grades ist LE^4

Die FTM einer Fläche ist ein Maß für den „Widerstand“ der Fläche gegen Biegung und Torsion um der betrachteten Achse. Es wird berechnet durch:

Die Berechnung der Moment einer Moment erzeugt ein Tensor, die als Flächenträgheitstensor J bezeichnet wird. J ist ein symmetrisches Tensor, deswegen ist J_23=J_32. Die Komponente der Flächenträgheitstensor heißen Flächenträgheitsmomente.

Die Flächenträgheitsmomente J_ij sind berechnet durch:

Es gibt noch eine Begriff der FTM und es ist die Trägheitsradien einer Fläche.

Bei der knickgefährdeten Druckstäben ist die Knickrichtung immer in die Richtung mit der kleinsten Trägheitsmoment. Deswegen ist für diese Stabilitätsnachweis der kleinsten Trägheitsradius maßgebend i_min.

Bei der Untersuchung der Flächen können wir verschiedene Bezugssysteme anwenden. Diese werden durch drei spezielle Bezeichnungen gewählt.

Wir können nun eine neue Bezugssystem mit parallel verschobenen Achsen betrachten.

Der Satz von Steiner-Huygenz

Bei der parallelverschiebung können wir den Satz von Steiner verwenden, um die FTM neu zu berechnen. Es folgt:

FTM bei der gedrehter Bezugssysteme

Bei dem Schwerpunktsystem können die Achsen gedreht werden. Die Berechnung der Trägheitsmomente bei gedrehten Achsen wird so berechnet:

Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen

Die berechnete FT. Momente hängen von dem Translationswinkel phi ab. Daraus können wir einen Extremwertproblem herleiten, und mit denen können wir die Hauptträgheitsmomente berechnen. Diese HTM sind die Eigenwerte der Trägheitstensor J und sind die Extremwerte der Trägheitsmomente.

Wenn unsere Achsen bilden die Hauptträgheitsachsen, dann verschwinden die Deviationsmomente in der Fläche. Die Lage der HTA phi_0 kann wie folgende berechnet:

J_1 und J_2 sind definiert als die Hauptträgheitsmomente und sind die Extremwerte der J_22(phi) und J_33(phi). Die können so berechnet werden:

Zusammengesetzte Flächen

Bei komplexen Geometrien können wir die Gesamtfläche in einfachere geometrien unterteilen, deren tensorielle Werten schon bekannt sind.

Bei solcher Unterteilungen muss man die Teilträgheitsmomente miteinander addieren um die Trägheitsmoment der Gesamtgeometrie zu bestimmen. Es gilt :

A_gesamt = ∑_i=1,k A_i

J_op = ∑_i=1,k (J_op)_i

Dünnwandigkeit

Bei manchen Flächen sind die Wände sehr dünn relativ zur Querschnittsabmessungen.

In solchen Fällen können wir die EigenFTM dieser Wände vernachlässigen und nur mit deren Steiner-Anteile berechnen. Bei Steiner-Anteil Berechnung verwenden wir nicht die tatsächlichen Querschnittabmessungen, sondern die Mittellinien dieser Geometrien.

Ein Beispiel dafür ist das I-Profil.

RWTH Aachen Mechanical Engineering Student