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Einführung zur Lineare Algebra Introduction to Linear Algebra

In this series of linear algebra we will be publishing linear algebra definitions and rules in a compact way, with demonstrative illustrations wherever possible. You can translate the page to every other language with the help of Google Translate widget. Thank you.

1.1 Punkte im \mathbb{R}^n

Wir können jedem Punkt auf der Zahlenstrahl eine reelle Zahl zuweisen.

https://www.grund-wissen.de/mathematik/arithmetik/einteilung-der-zahlen.html

Genauso können wir ein Zahlenpaar benutzen, damit wir die Lage eines Punktes in einer Ebene beschreiben, die zwei Koordinatenachsen besitzt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatensystem

Das Koordinatensystem muss nicht immer rechtwinklig, also orthogonal, sein. Die Beschreibung der Punkte in höheren Dimensionen ist ganz parallel zu dieser Verfahren. Nunmals benötigen wir mehr Achsen die den Dimension aufspannen, und also Koordinaten dieser Achsen um den Punkt zu beschreiben.

XYZ Koordinaten werden gleichzeitig als x1 x2 x3 Koordinaten bezeichnet.
https://praxistipps.chip.de/3d-was-ist-das_41875

Die Allgemeine Schreibform für n-Dimensionalen Koordinatenbeschreibung ist ein n-Tupel reeller Zahlen.

\mathbb{R}^n := \left \{ \begin{pmatrix} x_1\\ .\\ .\\ x_n\\ \end{pmatrix}\ |  x_i \in \mathbb{R}, 1\leq i \leq n \right \}

In vielen Anwendungen kommen n-Tupel reellen Zahlen mit n≥3 häufig vor. Diese haben zunächst keine geometrische Bedeutung, sondern als Datenbanksysteme.

Zum Beispiel: Ein Mann investiert in 5 Unternehmen. Die Investitionsmöglichkeiten entsprechen 5-Tupeln

x = \left \{ \begin{pmatrix} x_1\\ .\\ .\\ x_5\ \end{pmatrix}\ \in \mathbb{R}^5 \right \}

Jede x_i entspricht ein Geldeinheit für entsprechende Investitionen.

Vektoren

Im \mathbb{R}^n (n≤3) stellen wir uns einen Vektor als eine Strecke mit Richtung vor. Der Vektor {\overrightarrow{PQ}} hat den Anfangspunkt P und den Endpunkt Q und dieser Vektor kann beliebig oft parallel verschoben werden. Diese Vektor wird wie folgende beschireben:

P= \begin{pmatrix} p_1\\ .\\ .\\ .\\ p_n\\ \end{pmatrix} , Q= \begin{pmatrix} q_1\\ .\\ .\\ .\\ q_n\\ \end{pmatrix} , {\overrightarrow{PQ}} = \begin{pmatrix} q_1-p_1\\ .\\ .\\ .\\ q_n- p_n\\ \end{pmatrix}

Vektorräume In linear Algebra

Wir definieren axiomatisch was ein Vektorraum ist, dann ein Vektor einfach ein Element eines Vektorraumes.

  • Definition 1.1 Ein Vektorraum ist eine Menge V mit der Addition und einer Multiplikation mit Elementen der Körper K, Körper K kann je nach Wahl variieren. (Hier \mathbb{R} oder \mathbb{C} ).
  • Es gilt für alle u,v,w \in V \,\, und \,\, \alpha \, \beta \in K :
  • 1) u+v = v+u
  • 2) (u+v)+w = u+ (v+w)
  • 3) \exists 0 = 0_V \in V \, (Der \, Nullvektor)\, mit\, u+0_V = u
  • 4)Für jedes u \exists (-u) mit u+(-u)=0_V
  • 5) \alpha(\beta \cdot u) = (\alpha\beta) \cdot u
  • 6) \alpha(u+v) = \alpha \cdot u + \alpha \ cdot v
  • 7) ( \alpha +\beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u
  • 8) 1 \cdot u = u

Definition 1.2

  • 1) Ist V ein Vektorraum mit v_1 ,.., v_n \in V , \alpha_1 , . . . , \alpha_n \in K . Dann ist die Summe \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i die Linearkombination von v_1, . . . ,v_n ( In der Physik wird Linearkombination auch als Superposition benannt.)

Satz 1.8 Dimension der Addition von Unterräumen

V ein endlich erzeugter Vektorraum, U und W Unterräume von V. U+W bedeutet die Summe der Vektoren u+w aus U und W. Dann gilt:

dim(u+w) = dim(U) + dim(W) – dim(U\cap W)

RWTH Aachen Mechanical Engineering Student