1.3 Affine Spaces / Affine Räume

Affine Spaces / Affine Räume is the third article on linear algebra. Explore related contents in Engineering category mathematics! You can support my work via Paypal, Patreon, or your recommendations via my Contact Page!

Affine Räume sind grundsätzlich verschobene lineare Unterräume.

E = \{\,v+U \,\,\,|\,\,\, v\in U \, \} = v+U

Definition 1.17

• Die Vektoren v_0, v_1, . . . , v_n \in V heißen affin unabhängig, wenn gilt:

\sum_{i=0}^{n}\lambda_iv_i = 0 \,\, und \,\, \sum_{j=0}^{n}\lambda_j=0 \,\, \Rightarrow \,\,\, \lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n = 0

Satz 1.18

v_0 , . . . , v_n sind affin unabhängig genau dann, wenn v_1-v_0, v_2-v_0, . . . , v_n-v_0 linear unabhängig sind.

Also im 3D sind die Vektoren v1,v2,v3 genau dann affin unabhängig, wenn sie zusammen in einer Ebene liegen. Die Punkte der Ebene können beschrieben werden als alle

v = v_0 + \lambda(v_1-v_0) + \mu(v_2-v_0) \; mit \;\lambda,\mu \in \mathbb{R}

Definition 1.19

Die Affine Hülle von Vektoren entspricht der affiner Unterraum, der durch diesen Vektoren aufgespannt wird. Er wird mit folgendem Gleichung beschrieben:

aff(v_0,v_1,...,v_n):= \left \{ \sum_{j=0}^n\lambda_jv_j \;|\; \sum_{j=0}^n=1 \right \}

Wie wir schon bemerkt haben, sind affinen Unterräume genau die verschobenen linearen Unterräume.

aff(v_0,v_1,...,v_n) = v_0 + Span(v_1-v_0,...,v_n-v_0)

Wir können es in 3D so vorstellen. Eine zweidimensionale ebene x1-x2 wird entlang der x3 Achse nach oben verschoben und auf dieser Ebene befinden sich unterschiedliche Punkten. Dann haben die Unterschiedvektoren vi-v0 die Bedeutung von Verschiebungsvektoren, die von dieser Punkten vi stammen und zum Punkt v0 gehen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space

Satz 1.21 Lösungsraum der Gleichungssysteme

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichugnssystem Ax = b und das zugehörige homogene System Ax=0 . Dann gilt:

• Die Lösungsmenge von Ax=b ist entweder leer oder ein affiner Unterraum. Ist  v_0 eine spezielle Lösung von Ax= b und U die Lösungsmenge von Ax=0 , so ist der affine Unterraum / affine Space v_0 + U die Lösungsmenge von Ax=b
• Die spezielle Lösung v_0 von Ax=b und die Lösungsmenge U können durch das Gaussalgorithmus relativ leicht gefunden werden.