1.2 Gaussian Elimination und Wiederholung: Vektorräume, Unterräume und Basis

This post about Gaussalgorithmus/ Gaussian Elimination is written in the original language of my lecture notes, which is German. You can use translate widget to translate this page to a language you want. Check out my other posts about engineering mathematics here. You can support my work via my about page!

---

Wir beginnen dieses Post mit einer Wiederholung der Vektorräume, Unterräume, Basis und zugehörigen Begriffe.

Lineare Kombination und Span

Es existiere ein Vektorraum V mit Vektoren v_i (1≤i≤n) und deren lineare Kombination l.k. :

Wenn, jede Vektor vi ist darstellbar als linear Kombination von v_i ,

Dann ist Span(v_1,v_2,…,v_n) = V und die Vektoren v_i›n heißen zusammen das Erzeugendensystem von V.

Basis

Die Basen sind minimale Erzeugendensysteme, und sind die maximal linearunabhänhige Systeme von Vektoren in deren Vektorräume.

Sie sind minimal, denn wenn wir nur einen Vektor herausnehmen würden, würden die verbleibenden Basisvektoren nicht ausreichen, um den gesamten Raum abzudecken.

Sie sind di maximal l.u. Systeme, da wenn wir nur einen Vektor addieren würden, würden die Vektoren linearabhängig sein.

Satz: Jedes Vektor v ∈ V ist eindeutig in Form der linearen Kombination v = ∑i=1›n (a_i)(v_i) darstellbar.

v_i sind die Basisvektoren und a_i sind die entsprechenden Koeffizienten.

Diese Koeffizienten heißen auch „Koordinaten“

Vektordarstellung einer Basis, Koordinaten

Bei vielen Aufgaben ist das Basiswahl sehr wichtig um die Aufgabe lösen zu können.

Jedes Basis besitzt die gleiche Anzahl von Vektoren. Diese Zahl heißt die Dimension der Basis.

Die Dimension

Sind b_1,..,b_n , v_1,…, v_n linearunabhängig und k≤n, dann existiert ein Basis mit Vektoren v_1,…,v_n und mit n-k weiteren Vektoren aus b_i (1≤i≤n)

Unterräume U⊆V

Ist V endlich erzeugt ( die Anzahl der erzeugenden Vektoren ist nicht unbegrenzt, siehe Artikel.) und ist U ⊆ V ein Unterraum, dann gelten die folgende Beziehungen.

Ein Beispiel für nicht endlich erzeugten Systeme:

ist die stetige Funktionen in einem Intervall.

Der Raum die diese Funktionen enthält ist unendlich erzeugt, z.B. Der Grad der Polynomfunktion wächst gegen unendlichen.

• U ≤ V und U endlich erzeugt.
• dim(U) ≤ dim(V)
• u_1,…,u_k ∈ U kann mit Vektoren aus b_1,…,b_n zu einer Basis von V ergänzt werden.

U≤V: Teilmenge der Form

v+u = { v+u | u ∈ U } „verschobene Unterraum“

v+u = w+u gilt genau dann, wenn (w+u)∩(v+u)≠∅ <=> (v-w)∈U

Also die Translationsvektor zwischen den Verschibungsvektoren liegt in dem Unterraum U.

Der Faktorraum

V/U = {v+U|v∈V} wird ein Vektorraum mit:

• (v+u) + (w+u) = (w+v) + U
• a(v+U) = av + U
• V/U heißt Faktorraum von V nach dem Unterraum U.
• dim(V/U) = dim(V)-dim(U)
• b_1,…,b_n-k, u_1,…,u_k ist Basis von V ; u_1,…,u_k Basis von U, dann ist: (b_1)+U, (b_2)+U,…, (b_n-k) + U eine Basis von V/U.

Satz: Dimensionsformel

V endlich erzeugt; U,W Unterräume;

U+W = {u+w|u∈U, w∈W};

U+W ist also ein Unterraum von V;

U∩W ist also ein Unterraum von V;

Es gilt: dim(U+W) = dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)

Satz für Dimensionsformel

Lineare Unabhängigkeit

∑i=1›n (a_i)(v_i) = 0 <=> a_i = 0 (1≤i≤n)

=> Vektoren v_i sind linear unabhängig.

Bedingung der linearen Unabhängigkeit

Intuitiv kann man die lineare Abhängigkeit so interpretieren. Wenn wir durch Multiplikation und Addition zur Ursprung der ersten Vektor zurückkommen, dann sind diese Vektoren linear abhängig, sonst linear unabhängig.

Direkte Summe

Wenn wir zwei Unterräume U,W zueinander addieren, deren Schnittmenge nur die Nullvektor enthält, dann heißt die Summe U+W die „direkte Summe“ von U und W. Diese Operation ist durch dieses Symbol ⊕ bezeichnet.

Also :

U∩W={0v} 0v:= Nullabbildung

=> U+W = U⊕W

Direkte Summe Notation

Wenn U⊕W = V gilt:

jede v∈V kann eindeutig in Form u+w , u∈U w∈W, gezeigt werden.

Gausscher Algorithmus – Gaussian Elimination

Ziel: das lineare Gleichungssytem lösen.

(a_11)(x_1)+(a_12)(x_2)+…+(a_1n)(x_n) = b_1

. .

. .

(a_m1)(x_1)+(a_m2)(x_2)+…+(a_mn)(x_n)=b_m

Das ist ein lineares Gleichungsystem mit m Zeilen und n Spalten. Wir werden dieses lineare Gleichungsystem in eine Matrix A umformen. Dieses Matrix kann mit unterschiedlichen Schreibweisen bezeichnet werden.

A⋅x=b heißt inhomogenes Gleichungssytem, und A⋅x=0 heißt ein lineares Gleichungssytem.

Ziel Nun: Alle x bestimmen, die A⋅x=0 erfüllen, also die Lösungsmenge bestimmen. {x | A⋅x=0}

{x |A⋅x=0} heißt der Kern von A und ist ein Unterraum von K^n ( K ist der Zahlenkörper)

• Falls x=0 ist die einzige Lösung, dann ist die Spalten a^1,…,a^n von A linear unabhängig.
• Andernfalls bestimmen wir den Kern A durch Gaussalgorithmus

Beim Durchführen des Gausschen Algorithmus/ Gaussian Elimination verwenden wir drei Elementarzeilenumformungen (EZU).

• Vertauschen von zwei Zeilen
• Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar
• Addition eines vielfachen von einer Zeile zu einer anderen.

Durch Elementarzeilenumformungen wird die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungsystems nicht verändert.

Ziel 3: Das Gleichungsystem in eine Form bringen, die ermöglicht eines Basis von A aufzustellen.

Hermitische NormalForm (HNF)

In hermitischer Normalform wird die Matrix in so einer Form gebracht, dass vor jeder Stufe sind nur Nullen vorhanden. Über und Unter der Stufenkoeffizienten sind Nullen vorhanden. Die Stufenkoeffizienten sind Eins. Also das Matrix sieht wie das aus:

Satz: Jede Matrix kann durch EZU in HNF gebracht werden.

Hermitische Normalform

Zur Lösung inhomogener Gleichungsysteme verwenden wir den „erweiterten Matrix“ mit gleichem Gauss-Operationen.

So das ist alles über Gaussalgorithmus / Gaussian Elimination. Wir haben noch viele Vorlesungsnotizen zu veröffentlichen und weitere werden kommen.